Naredni sastanak seminara biće održan u utorak 24.03. u 16 časova u učionici 840. Na seminaru ćemo imati dva predavača, Filipa Broćića (Univerzitet u Augzburgu) i Marka Berezovika (Univerzitet u Tel Avivu). U nastavku su naslovi i apstrakti predavanja.
Filip Broćić: Arnoldova hipoteza o tetivama u kotangentnom raslojenju
-
Apstrakt: Arnold je u revolucionarnom radu o „prvim koracima“ u simplektičkoj topologiji promenio tok razvoja oblasti postavivši niz hipoteza koje su i danas predmet aktivnog istraživanja. Jedna od hipoteza u modernoj reformulaciji garantuje da svaka zatvorena Ležandrova podmnogostrukost zatvorene kontaktne mnogostrukosti poseduje Rebovu tetivu. Rebova tetiva sa granicom na Ležandrovoj podmnogostrukosti je rešenje diferencijalne jednačine određene Rebovim vektorskim poljem sa Ležandrovim graničnim uslovima. Rebovo vektorsko polje je jednoznačno pridruženo 1-formi čije jezgro je zadata kontaktna distribucija. U slučaju kotangentnih raslojenja, specijalni slučaj hipoteze o tetivama je sledeće pitanje: da li na zadatoj zatvorenoj Rimanovoj mnogostrukosti svaka zatvorena podmnogostrukost ima geodezijsku tetivu koja je ortogonalna na podmnogostrukost. Na predavanju ću prezentovati pozitivan odgovor na ovo pitanje koristeći kombinaciju teorije perturbovanih holomorfnih krivih u simplektičkim mnogostrukostima i algebarske topologije. Naš dokaz daje postojanje Rebovih tetiva na konormalnim podizanjima proizvoljne podmnogostrukosti baze, za sve kontaktne forme koje generišu standardu kontaktu strukturu na ko-sfernom raslojenju. Time dajemo potvrdan odgovor za Arnoldovu hipotezu za pomenutu klasu kontaktnih i Ležandrovih mnogostrukosti. Ovo predavanje je bazirano na zajedničkom radu sa Dilanom Kantom i Jegorom Šelukinom.
Mark Berezovik: Symplectically self-polar convex bodies – Apstrakt: Symplectically self-polar convex bodies arise in convex geometry and dynamical systems. In this talk I will discuss these two perspectives. On the convex-geometric side, Mahler’s conjecture on the volume product of a centrally symmetric convex body and its Euclidean polar is equivalent to the corresponding volume conjecture for symplectically self-polar bodies [1]. On the dynamical side, symplectically self-polar convex bodies provide a higher-dimensional analogue of Radon curves. In particular, they produce invariant hypersurfaces for the symplectic outer billiard map on which all orbits are centrally symmetric and 4-periodic, thus extending a classical feature of Radon curves to higher even dimensions [3]. This talk is based on the following papers: https://arxiv.org/abs/2211.14630 (B., Karasev, 2025, Israel Journal of Mathematics) https://arxiv.org/abs/2310.14998 (B., 2025, Annales mathématiques du Québec) https://arxiv.org/abs/2501.12165 (B., Bialy, 2026, Mathematische Annalen)
