Наредни састанак Семинара биће одржан у петак, 10. октобра 2025, у сали 301ф Математичког института САНУ са почетком у 12:15.

Предавач: Вељко Тољић, Природни-математички факултет у Новом Саду

Наслов предавања: КОМПЛЕТИРАЊЕ МАТРИЦА И КАРАМОВА ХИПОТЕЗА О МАТРИЦАМА СА НЕПОЗНАТОМ ДИЈАГОНАЛОМ – Студентска пракса МИ САНУ 2024.

Апстракт:
Нека nxm матрица M, n ≤ m има константе из неког поља F ван главне дијагонале, и нека су нека поља на главној дијагонали променљиве. Јасно је да је свако попуњавање М’ важи r(М’) ≥ r_d(М), где је rd(М) димензија највећег ненула минора који има само константа поља. Обрат међутим не важи, и отворен је проблем да ли можемо наћи М’ тако да је r(М’) ≤ 2r_d.

Карам у својој дисертацији доказује да постоји r(М’)≤3r_d, а сама чињеница да постоји нека константа је, када се ситуација генерализује на партициони ранг тензора, корисна за доказивање резултата о еквидистрибуцији полинома над коначним пољима (Gowers, Karam). Упознаћемо се и са неким резултатима о комплетирању матрица до минималног ранга (само ћемо минимални ранг звати r_е(М) уместо mr како је иначе конвенција, онда се Карамова хипотеза може кратко записати као r_е(М) ≤ 2r_d(М)). То су резултати на реалним и комплексним бројевима, који прилагођавају теорију ригидности да „заобиђе“ комплетност са вероватноћом 1 (Kiraly, Theran, Irving Bernstein, Blekherman и сар).

Представљамо два нова резултата, први је по узору на генерички и типични ранг, да је заправо r_е = r_d и n > 2r_d кад год је матрица квазигенеричка (слабије својство од генеричкости, сви максимални ненула минори без променљивих су исте димензије). Други је доказ Карамове хипотезе у случају r_е = n, у пољу F_p за p>n. Овај доказ користи инспирацију из теорије матроида и неке старе резултате о блокирајућим скуповима у коначним пројективним просторима.

Напомена: Предавања можете пратити на даљину. Све информације су доступне на страници:
https://miteam.mi.sanu.ac.rs/asset/M4zcEwxkzy5PqNS73