Naredni sastanak Seminara biće održan u petak, 10. oktobra 2025, u sali 301f Matematičkog instituta SANU sa početkom u 12:15.

Predavač: Veljko Toljić, Prirodni-matematički fakultet u Novom Sadu

Naslov predavanja: KOMPLETIRANjE MATRICA I KARAMOVA HIPOTEZA O MATRICAMA SA NEPOZNATOM DIJAGONALOM – Studentska praksa MI SANU 2024.

Apstrakt:
Neka nxm matrica M, n ≤ m ima konstante iz nekog polja F van glavne dijagonale, i neka su neka polja na glavnoj dijagonali promenljive. Jasno je da je svako popunjavanje M’ važi r(M’) ≥ r_d(M), gde je rd(M) dimenzija najvećeg nenula minora koji ima samo konstanta polja. Obrat međutim ne važi, i otvoren je problem da li možemo naći M’ tako da je r(M’) ≤ 2r_d.

Karam u svojoj disertaciji dokazuje da postoji r(M’)≤3r_d, a sama činjenica da postoji neka konstanta je, kada se situacija generalizuje na particioni rang tenzora, korisna za dokazivanje rezultata o ekvidistribuciji polinoma nad konačnim poljima (Gowers, Karam). Upoznaćemo se i sa nekim rezultatima o kompletiranju matrica do minimalnog ranga (samo ćemo minimalni rang zvati r_e(M) umesto mr kako je inače konvencija, onda se Karamova hipoteza može kratko zapisati kao r_e(M) ≤ 2r_d(M)). To su rezultati na realnim i kompleksnim brojevima, koji prilagođavaju teoriju rigidnosti da „zaobiđe“ kompletnost sa verovatnoćom 1 (Kiraly, Theran, Irving Bernstein, Blekherman i sar).

Predstavljamo dva nova rezultata, prvi je po uzoru na generički i tipični rang, da je zapravo r_e = r_d i n > 2r_d kad god je matrica kvazigenerička (slabije svojstvo od generičkosti, svi maksimalni nenula minori bez promenljivih su iste dimenzije). Drugi je dokaz Karamove hipoteze u slučaju r_e = n, u polju F_p za p>n. Ovaj dokaz koristi inspiraciju iz teorije matroida i neke stare rezultate o blokirajućim skupovima u konačnim projektivnim prostorima.

Napomena: Predavanja možete pratiti na daljinu. Sve informacije su dostupne na stranici:
https://miteam.mi.sanu.ac.rs/asset/M4zcEwxkzy5PqNS73