Generisanje slucajnih velicina

Prvi zadatak

\(X\sim \mathcal{U}(0,1)\). Odrediti raspodelu:

1. \(Y = aX+B\)
2. \(W = -\log X\)

1. \(Y = aX+B\)

Od ranije, treba da bude \(Y\sim\mathcal{U}(b, a+b)\).

x <- runif(1e4)
hist(x)

y <- 3 * x + 7
hist(y)

Raspodela \(W=-\log X\)

Treba da bude \(\mathcal{E}(1)\).

hist(x)

w <- -log(x)
hist(w)

# curve uvek prima izraz po x
curve(dexp(x), xlim = c(0, 5))

hist(w, probability = TRUE)
curve(dexp(x), xlim = c(0, 5), add = TRUE, col = "red")

Drugi zadatak

\(X \sim \mathcal{E}(\lambda)\). Odrediti raspodele:

1. \(Y = [X]\)
2. \(W = 1-e^{-\lambda X}\)

Raspodela \(Y\)

Treba da bude \(\mathcal{G}(1-e^{-\lambda})\)

x <- rexp(1e4, rate = 0.1) #lambda = pi
hist(x, prob = TRUE)

y <- floor(x)

hist(y, prob = TRUE)

pts <- seq_len(50)
points(dgeom(pts, prob = 1-exp(-0.1)), col = "red")

Metoda inverzne transformacije

Ako je \(X\) slucajna velicina sa funkcijom raspodele \(F_X\), onda \(Y=F_X(X)\) ima uniformnu raspodelu na \([0,1]\)

Slicno, ako je \(U\sim \mathcal{U}[0,1]\), onda \(T=F_X^{-1}(U)\) ima istu raspodelu kao \(X\).

u <- runif(1e4)
hist(u)

Kada na u primenimo qnorm, treba da dobijemo normalnu raspodelu.

y <- qnorm(u)
hist(y)

y <- qnorm(u)
hist(sqrt(5)*y + 2)

y <- qnorm(u, mean = 2, sd = sqrt(5))
hist(y)

hist(qexp(u, rate = pi))