# Cas 7,                                                                                        01.12.2017.



# Cebisovljeva nejednakost  (specijalni slucaj)

# Neka je X proizvoljna slucajna velicina, a eps > 0. Tada vazi:

# P{|X-EX|>=eps}<=DX/eps^2


# Zakon velikih brojeva      
# [Hincinova teorema]

# Neka je X1, X2, ..., Xn niz nezavisnih slucajnih velicina sa istom raspodjelom
# i konacnim matematickim ocekivanjem m i neka je Sn=X1+...+Xn. Tada vazi:

# za svako esp>0  P{| Sn/n - m | > eps }-->0, n-->inf


# Primjer: Bacanje novcica n puta, pri cemu u svakom bacanju pismo pada sa 
# vjerovatnocom p, nezavisno od ostalih bacanja. Neka je Xi slucajna velicina 
# koja uzima vrijednost 1 ako je u i-tom bacanju palo pismo, 0 inace, za sve 
# i=1,..n. Hocemo da provjerimo (simulacijom) da li za ovakav niz slucajnih 
# velicina vazi zakon velikih brojeva.

# Treba da provjerimo da li P{|Sn/n-p|>=eps}~0 ako je n veliko.

# ESn=nEX1=n*p, sto znaci da je ESn/n=p

zvb<-function(n, p, eps=0.1){
  
  s<-sample(c(1,0), n, replace = TRUE, prob = c(p,1-p))
  
  ifelse((abs(mean(s)-p))>=eps, 1, 0)
  
}
mean(replicate(10000,zvb(100,0.5)))

# Vjerovatnoca dosta varira u zavisnosti do izbora eps zbog nepreciznosti samih
# ocjena


# 1. Koju raspodjelu ima slucajna velicina Sn=X1+...+Xn?

# 2. Naci gornje ograncenje za P{|Sn/n-p|>0.05}



### Aposolutno neprekidne slucajne velicine ###



# Uopsteno o apsolutno neprekidnim slucajnim velicinama:

# f(x), F(x), P{a<X<b}, EX, P{X=x}

# Primjer:

# Data je funkcija f(x) = a*(1-x)^2, 0<x<1 i nula inace.
# (a) Izracunati a, tako da f(x) bude funkcija gustine.
# (b) Odrediti funkciju raspodjele te slucajne velicine.
# (v) Izracunati P{X > 1/3}.
# (g) Naci E(X) i D(x).
# (d) Izracunati P{0.5 < X < 0.75}


## Uniformna raspodjela U[a,b] 
## a<b

# Generisanje uzorka iz U[a,b]

runif(1) # podrazumijevano U[0,1]
runif(1, min = 1, max = 2) # U[1,2]

# Funkcija raspodjele u tacki x

x=1
punif(x, min = 1, max = 2)

# Gustina raspodjele u tacki x

dunif(x, min = 1, max = 2)

# EX, DX


# Primjer: Stap duzine l je prelomljen u slucajno odabranoj tacki. Ocijeniti 
# srednju vrijednost slucajne velicine X koja predstavlja duzinu kraceg dijela.

X<-function(l){
  
  # Biramo slucajan broj iz [0,l]
  
  x<-runif(1, 0, l)
  
  # Vracamo duzinu kraceg dijela stapa
  
  min(x, l-x)
  
  
}

# Srednja vrijednost: (Ocjena ocekivanja slucajne velicine X)
mean(replicate(10000,X(10)))

# Histogram

hist(runif(100000), freq = F)
abline(h=1, col="red")



## Eksponencijalna raspodjela Exp(lambda)
## lambda >0 (rate)


# Uzorak obima 10 iz Exp(1) raspodjele
exp(10) # podrazumijevano: rate=1

# Exp(3)

rexp(1, rate = 3)
pexp(x, rate = 3)
dexp(x, rate = 3) 

# EX, DX
# Ocjena EX, gdje je X iz Exp(3) raspodjele.
# Ocekivana vrijednost: 1/3

mean(rexp(10000,3))

# Histogram gustine

hist(rexp(1000), freq = F)



# Primjer 1: Pretpostavlja se da je duzina radnog vijeka sijalice, prije nego
# sto pregori, eksponencijalno raspodijeljena slucajna velicina sa ocekivanjem
# 10 sati.
# a) Izracunati vjerovatnocu da je sijalica pregorela posle tacno 8 sati rada.
# b) Izracunati vjerovatnocu da je sijelica radila bar 10 sati.
# c) Izracunati vjerovatnocu da je sijalica radila izmedju 5 i 10 sati.

# Neka je X-duzina radnog vijeka sijalice.
# Najprije treba odrediti parametar lambda eksponencijalne raspodjele.
# Kako je EX=1/lamda=10 => lambda=1/10=0.1
# Dakle, X ima Exp(0.1) raspodjelu.

# a) Kako je X apsolutno neprekidnog tipa, P{X=8}=0.
# b) P{X>=10}=1-P{X<10}=1-F(10) jer je X neprekidna!

1 - pexp(10, 0.1)

# c) P{5 < X < 10} = F(10) - F(5)

pexp(10, 0.1) - pexp(5, 0.1)

# Primjer 2: Vrijeme koje protekne izmedju dolaska dva klijenata u banku ima
# eksponencijalnu raspodjelu, pri cemu je poznato da u prosjeku u banku dodje 5
# klijenata po satu. Izracunati ocekivano vrijeme izmedju dolaska dva klijenta.

# Kako u prosjeku dodje 5 klijenata u toku jednog sata, prosjecno vrijeme 
# izmedju dva dolaska je 1/5 sata, tj. 12 min. Dakle, ako je T vrijeme izmedju 
# dva dolaska , ET=1/5. Odavde mozemo lako zakljuciti da je parametar 
# ekspoencijalne raspodjele lambda=5, tj. T ima Exp(5) raspodjelu.



## Normalna raspodjela N(m, sigma^2)
## m iz (-inf, + inf), sigma^2>0

# Podrazumijevani parametri: m=0, sigma=1

# Napomena: Parametar sd je sigma, a ne sigma^2. Dakle, ako 
# kazemo da X ima N(0,4) raspodjelu, fji zadajemo parametre
# mean=0, sd=2

# Uorak velicine 100 iz N(0,1) raspodjele

rnorm(100, mean = 0, sd = 1)

x<-0

pnorm(x)
dnorm(x)

# EX=m, DX=sigma^2

mean(rnorm(10000, mean = 1, sd = 2))
var(rnorm(10000, mean = 1, sd = 2))


# [Teorema] Ako X~N(m,sigma^2), onda (X-m)/sigma ~ N(0,1).


# uzorak iz N(2,4)

m<-2
sigma<-2

x<-rnorm(1000, m, sigma)
hist(x)  # simetricna oko 2

y<-(x-m)/sigma # [T]=>N(0,1)

hist(y)
z<-rnorm(1000,0,1)

hist(z, col=rgb(0.1,0.1,0.1,0.5), add=T)


# Generisemo sada n nezavisnih slucajnih velicina iz neke iste raspodjele F, 
# gdje je n veliko i posmatrajmo Sn=X1+X2+...Xn.

# Neka je F npr eksponencijalna funkcija raspodjele sa parametrom 1

# Generisanje Sn:

sn<-function(n){
  
  x<-rexp(n)
  sum(x)
}

# Generisemo veliki broj vrijednosti iz raspodjele Sn

sim<-replicate(1000, sn(1000))
hist(sim)

# Primjecujemo da oblik histograma podsjeca na normalnu raspodjelu ali nije
# simetrican oko 0.

# EX=1 i DX=1 u ovom slucaju => ESn=nEX=n, DSn=nDX=n

# Standardizujemo Sn: (Sn-ESn) / sqrt(DSn)

hist((sim-1000)/sqrt(1000)) # sada je simetricna oko 0
hist(rnorm(1000))

# Ovo je bio primjer u kome vazi centralna granicna teorema: 

# [T] Neka je X1, X2, ... niz nezavisnih i jednakoraspodijeljenih slucajnih 
# velicina sa ocekivanjem m i disperzijom sigma^2 i neka je Sn=X1+...+Xn.

# Tada slucajna velicina (Sn-ESn)/sqrt(DSn) ima asimptotski N(0,1) raspodjelu 
# kad n tezi beskonacnosti.

# ESn=E(X1+...+Xn)=nEX1=n*m
# DSn=D(X1+...+Xn)=nDX1=n*sigma^2
# Pa cemo posmatrati (Sn-nm)/sigma*sqrt(n)


# Specijalan slucaj centralne granicne teoreme je Muavr-Laplasova teorema:

# Poznato nam je da se binomna slucajna velicina B(n,p) moze predstaviti kao
# zbir n nezavisnih slucajnih velicina sa Bernulijevom(p) raspodjelom (tj. zbir
# n nezavisnih indikatora).

# ESn=np, DSn=np(1-p) takodje poznato

# [T] Neka sl. velicina Sn ima B(n,p) raspodjelu, pri cemu je np>=10.
# Tada:

# P{a <= (Sn-np)/sqrt(np(1-p)) <= b} se moze aproksimirati sa F(b)-F(a)
# gdje je F funkicija normalne N(0,1) raspodjele



# Zadaci:


# 1. Neka je data f(x) = 1/4 * x^3, za sve x iz [ 0, c], 0 inace
# a) Naci c tako da f bude gustina raspodjele neke slucajne velicine X.
# b) Izracunati DX.

# 2. Neka slucajna velicina X ima uniformnu U(0,1) raspodjelu. Odrediti
# raspodjelu slucajne velicine W = -ln(X).

# 3. Preduzece u jednoj smjeni proizvede 10000 artikala jedne vrste. 
# Vjerovatnoca da je artikal neispravan je 0.05. Po zavrsetku smjene, neispravni
# artikli se stavljaju u posebno skladiste. Aproksimirati vjerovatnocu da je 550
# mjesta u skladistu dovoljno za sve neispravne artikle iz jedne smjene.