# (1) 
# X_1,..., X_n je prost slucajan uzorak(P.S.U.) iz Unif[Teta, 0], gde je Teta nepoznat parametar.
# Za ocenu Teta predlazu se sledece ocene:
# T_1=c*X_(1), c- neka konstanta, X_(1) - prva statistika poretka.
# T_2=2*X_{sr}, gde je X_{sr} - srednja vrednost uzorka.
# Odrediti c da ocena T_1 bude nepristrasna i bolju ocenu od ove dve date.

# Ovaj zadatak cemo prvo resiti na tabli, a onda simulacijom proveriti rezultat.

#prvo dobijemo PSU, neka bude duzine 100 iz Unif[-10, 0] (tj zadacemo parametar i videcemo kako koja ocena ga oceni.)
uzorak=runif(100, -10, 0)

# ocena prvom ocenom, za c se dobije c=(n+1)/n=101/100
ocena_1=min(uzorak)*101/100
# ocena drugom
ocena_2=mean(uzorak)*2

# kako znamo da su obe ocene nepristrasne, necemo ispitivati ocekivanje, ali hocemo disperzije, prema formulama imamo:
disp_1=(-10)^2/(100*102)
disp_2=(-10)^2/300

# I sada taj postupak jos ponovimo N puta i gledamo koliko nam je cesto ocena_1 zaista bolja.
simulacija<-function(Teta, n, N)
{
  brojac=0 # broji koliko bude je ocena_1 bolja od ocene_2
  for(i in 1:N)
  {
    uzorak=runif(n, Teta, 0)
    # ocena prvom ocenom, za c se dobije c=(n+1)/n=101/100
    ocena_1=min(uzorak)*(n+1)/n
    # ocena drugom
    ocena_2=mean(uzorak)*2
    if(abs(ocena_1-Teta)<abs(ocena_2-Teta))
    {
      brojac=brojac+1
    }
  }
  return(brojac/N)
}
# Vidimo da je u ~90% slucajeva bolja prva ocena.



# 1. zadatak primenom apply funkcija.

# Generisemo uzorak i uniformne U[-5,0] raspodele
n = 1000
x = runif(n, -10, 0)

# Ocene parametra theta na osnovu uzorka x
teta_1 = (n + 1) / n * min(x)
teta_2 = 2 * mean(x)

# Hocemo da ocenimo disperzije ovih ocjena

ocene <- function(n, teta) 
{
  x = runif(n, teta, 0)
  teta_1 = (n + 1) / n * min(x)
  teta_2 = 2 * mean(x)
  
  return(c(teta_1, teta_2))
  
}

r = replicate(1000, ocjene(n = 100, teta = -10))
# Ocene ocekivanje ocena teta_1 i teta_2
rowMeans(r)
# Ocjene disperzija

var(r[1, ])
var(r[2, ])

# Prva je mnogo manja, pa je prva ocena bolja

# Poredimo sa teorijskim disperzijama

n = 100
d1 = 1 / (n * (n + 2)) * (-10) ^ 2
d2 = 1 / (3 * n) * (-10) ^ 2

# To je bio uvodni zadatak za ocenjivanje, cisto da osetimo problem i razlog.
# Postavlja se pitanje a kako uopste naci ocene? U prvom zadatku imali smo vec date ocene i zadatak je bio samo da izracunamo.
# Postoji vise metoda za nalazenje ocene mi cemo neke predstaviti.