# Sedmi cas.

# Hocemo da uvedemo apsolutno neprekidne slucajne velicine. 
# Definicija, gustina raspodele. 
# Primeri.

# 1* Prvi i najprostiji primer apsolutno neprekidne funkcije raspodele 
# je bas Uniformna slucajna velicina na nekom 
# intervalu [a, b] (a<b). 
# Ta slucajna velicina ima gustinu f(x)=1/(b-a), x iz [a, b] i nula inace. 
# Primetimo da u slucaju a=0, b=1, gustina je bas jednaka jedinici na [0, 1]!
# Dalje,  funkciju raspodele za X~Unif[a, b] nalazimo 
# po formuli: F(x)=P{X<=x}= (x-a)/(b-a).
# Neke ugradjene funkcije u R-u za neprekidnu uniformnu su:
# punif(k, a, b)=P{X<=k}=P{X<k} za X~Unif[a, b]
# runif(size=n, a, b) - (pseudo)slucajan broj (ili brojevi za n>1) 
# iz X~Unif[a, b].
# dunif(k, a, b) - ovde se malo razlikuje od diskretnog slucaja, 
# ovde dunif predstavlja vrednost 
# funkcije gustine f(x) za x=k, 
# primetimo da u slucaju X~Unif[0, 2], 
# dobijamo iste vrednosti za sve k iz [0, 2] i nulu inace
dunif(1.7, 0, 2)
dunif(0, 0, 2)
dunif(3, 0, 2)
# Ocekivanje X~Unif[a, b]: E(X)=(a+b)/2
# Disperzija X~Unif[a, b]: D(X)=(b-a)^2/12

# 2* Drugi primer je Eskponencijalna slucajna velicina: X~Exp(a), 
# primetimo da ima samo jedan parametar. 
# Funkcija gustine: f(x)=a*exp(-a*x), x>=0 i nula inace.
# Funkcija raspodele: F(x)=1-exp(-a*x).
# Parametar "a" predstavlja koliko puta se dogadjaj desio u jedinici 
# vremena (jedinicu mi sami zadajemo). Bice jasnije na primeru
# Inace, eksponencijalnom raspodelom se uglavnom modeliraju vremena 
# cekanja dok se ne desi neki dogadjaj, tj:
# - vreme cekanja izmedje dva telefonska poziva u call-centru.
# - vreme cekanja dok ne udje klijent u banku
# - vreme cekanje pre nego sto se bakterija podeli, itd...
# Ocekivanje je dato kao E(X)=1/a
# Disperzija: D(X)=1/a^2
# funkcije implementirane u R-u su sledece:
# pexp(y, a) = P{X<=y}, gde je X~Exp(a).
# rexp(size=n, a) - (pseudo)slucajan broj (ili brojevi za n>1) iz X~Exp(a).
# dexp(y, a) - vrednost funkcije gustine u tacki y.


# 3* Treci primer, koji je nama od kljucnog znacaja je Normalna raspodela 
# u oznaci N(m, sigma^2).
# Ima dva parametra gde prvi predstavlja bas ocekivanje te slucajne velicine,
# dok drugi disperziju!
# gustina raspodele je data sa: 
# f(x)=1/sqrt(2*pi*sigma^2) * exp(- (x-m)^2/(2*sigma^2) ), x iz R.
# Funkcija raspodele nema eksplicitan oblik, samo se kao integral zapisuje.
# Funkcije implementirane u R-u:
# pnorm(y, m, sigma) - obratimo paznju da u R-u drugi parametar 
# nije sigma^2 vec sigma!
# dnorm
# rnorm

# 1) zadatak
# Bakterija se deli u skladu sa eksponencijalnom raspodelom Exp(2) (u minutima) 
# (tj vreme koje protekne izmedju dve podele ima eksp. raspodelu).
# Odgovoriti na sledeca pitanja:
# (a) Koliki je srednji broj podela bakterije u jednom minutu?
# (b) Koliko podela u proseku bude u toku 20 minuta? Simulirati.
# (c) Oceniti  verovatnocu da je u sat vremena bilo bar "size" 
# podela pomocu simulacija.

# (a) Neka je X~Exp(2) koja odgovara nasoj raspodeli iz zadatka. 
# Tada je E(X)=1/a=1/2 - a to predstavlja ocekivano vreme
# cekanja u minutima do JEDNE podele. 
# => u proseku se 2 puta podeli u jednom minutu. 
# (a primetimo da nam to i jeste parametar)

# (b)
# 
simulacija_b <- function(a) # argumenti: N - koliko puta ponavljamo eksperiment, a - parametar eksp raspodele
{
    # korak - predstavlja broj podela.
    korak = 1
    # suma - tu cemo da proveravamo da li je manje od 20 minuta proslo.
    suma = rexp(1, a)
    # while - petlja, jer simuliramo dok god nismo premasili 20 minuta.
    while(suma <= 20)
    {
      # suma se povecava svaki put za vreme do nove podele
      suma = suma + rexp(1, a)
      # kao i broj podela.
      korak=korak + 1
    }
   
  return(korak)
}

mean(replicate(1000, expr = simulacija_b(a = 2)) )

# Ocekujemo broj ~40, jer 2 puta se u proseku deli u jednom minutu.

# (c)
simulacija_c <- function(size, a) # size - parametar iz uslova zadatka, a - parametar raspodele
{
  
  # x - vektor duzine size, koji predstavlja vremena cekanja izmedju podela.
  x = rexp(size, a)
    
  # Potrebno nam je da vidimo koliki je zbir svih vremena cekanja.
  y = sum(x)
  
  # ako jeste manji od 60 minuta, onda to racunamo kao uspeh 
    if(y <= 60)
    {
      return(1)
    }
    
  return(0)
}
mean(replicate(10000, simulacija_c(125, 2) ))
# A to je zapravo Gama raspodela sa parametrima (125, 2): G(125, 2)
pgamma(q = 60, shape = 125, rate = 2)


# 2)
# Neka su visine n ljudi u nekom odeljenju date iz N(170, 15) : 
# (a) Simularati visine tih ljudi kao i ocene za ocekivanje i disperziju.
# (b) Proveriti zakon velikih brojeva.

# (a)
simulacija2_a <- function(n, m, sigma ) # n - broj ljudi u odeljenju, m, sigma - prvi odnosno drugi parametar normalne rasp.
{
  x = rnorm(n, m, sigma) # gde primetimo ponovo da drugi parametar u R-u je sigma, ne i sigma^2!
  return(c (x, mean(x), var(x)) ) # vracamo vektor duzine n+2, jer smo dodali na kraju jos i srednju vrednost, kao i uzoracku disperziju vektora.
}
simulacija2_a(25, 170, sqrt(15))

# (b)
# 
simulacija2_b<-function(n, m, sigma, eps) # n - broj ljudi u odeljenju, m i sigma- parametri normalne raspodele
  # eps - vrednost epsilona iz teoreme ZVB.
{
    x = rnorm(n, m, sigma) # x - vektor koji duzine n slucajnih brojeva iz normalne raspodele N(m, sigma^2).
    if(abs(sum(x)/n-m) >= eps)
    {
      return(1)
    }
  
  return(0)
}
# U narednim pozivima primecujemo da za istu vrednost epsilona pri promeni samo prvog parametra znacajno se promeni ocenjena verovatnoca.
mean(replicate(1000, simulacija2_b(25,  170, sqrt(15), 1/2)) )
mean(replicate(1000, simulacija2_b(250,  170, sqrt(15), 1/2)))
mean( replicate(1000, simulacija2_b(1000, 170, sqrt(15), 1/2) ))



# 3)
# Data je funkcija f(x) = a*(1-x)^2, 0<x<1 i nula inace.
# (a) Izracunati a, tako da f(x) bude funkcija gustine.
# (b) Odrediti funkciju raspodele te slucajne velicine.
# (v) Izracunati P{X > 1/3}.
# (g) Naci E(X) i D(x).


# CGT i neke aproksimacije binomne raspodele.
# Neka su date jednako raspodeljene nezavisne slucajne velicine: 
# X_1, X_2, ..., X_n i D(X_i)<+inf, za svako i=1, ..., n.
# Ako posmatramo njihovu parcijalnu sumu: S_n=X_1+...+X_n
# Onda:
# (S_n -E(S_n))/sqrt(D(S_n)) -> N(0, 1), kada n-> +inf.
# Specijalno za S_n~Bin(n, p).
# Zato pri sledecim uslovima: 
# n>30
# n*p>10
# Mozemo Binomnu raspodelu da aproksimiramo normalnom!


# 4)
# Posmatrajmo eksperiment bacanja lopte u kos. Neka imamo ukupno 300 bacanja 
# i verovatnoca pogotka je 1/5.
# Izracunati verovatnocu da je bilo najvise 70 pogotka.

# Neka je X~Bin(300, 1/5). Trazi se P{X<=100}=
# P{(X- E(X))/sqrt(D(X)) <= (70- E(X))/ D(X)}=
# P{X*<= (70- 60)/sqrt(48)} , gde je sada  X* ~ N(0, 1)
vrednost=(70-300*1/5) / (sqrt(300*1/5*4/5))
pnorm(vrednost, 0, 1)





# Neki zadaci za vezbu:


# 1)
# U nekoj igri igraci serviraju sve dok dobijaju poen, poen se dobija samo ako igrac servira i dobije taj servis.
# Ako se dobije tudji servis nema poena, vec samo pravo da se servira.
# Prvi igrac koji osvoji 21 poen pobedjuje u mecu.
# Pretpostavimo da pri serviranju prvi igrac sa verovatnocom 0.6 moze da dobije, dok na servisu protivnika 0.5.
# Oceniti pomocu simulacija verovatnocu pobede prvog igraca. (prvi igrac pocinje serviranje)

# 2)
# Novcic se baca 100 puta. Odrediti verovatnocu da je broj glava 
# izmedju 40 i 60.

# 3) 
#  Simulirati neku Eksponencijalnu slucajnu velicinu pomocu funkcije runif.
# (argumenti funkcije parametar eksponencijalne slucajne velicine).