# Slucajne velicine.


# 1)
# Dat je zakon raspodele slucajne promenljive X{-2 => 1/5, -1 => 1/5, 0 => 1/5, 1=> 1/10, 5 => 3/10 }
# Odrediti zakone raspodele sledecih novih slucajnih promenljivih: Y=3*X+2, Z=X^2




# Binomna i geometrijska raspodela i primeri.

# 2) 
# Strelac gadja metu 10 puta i pogadja je sa verovatnocom 0.6. Naci verovatnocu da je:
# a) pogodio tacno jednom,
# b) pogodio izmedju 3 i 7 puta,
# c) pogodio neparan broj puta.

# a)
dbinom(1, 10, 0.6)
# Funkcija dbinom(k, n, p) vraca sledecu verovatnocu: neka je X~Bin(n, p) tada  P{X=k}=dbinom(k, n, p)

# b)
sum (dbinom (3:7, 10, 0.6))
# U ovom slucaju nam je potrebno da prosumiramo vise vrednosti, stoga umesto jedne vrednosti u prvom argumentu mi 
# prosledjujemo vektor. Ali funkcija dbinom u tom slucaju bas vektor i vrati. Zato nam je potrebno da prosumiramo taj vektor,
# da bismo mogli da dobijemo trazenu verovatnocu.

# c)
sum (dbinom (seq(1, 10, 2), 10, 0.6))
# Slicna kao u (b) samo je vektor malo drugaciji.


# 3)
# Strelac pogadja cilj sa verovatnocom 0.4. 
# Koliko najmanje gadjanja treba da planira da verovatnoca da pogodi cilj  bar
# 80 puta bude veca od 0.9?

# Funkcija pbinom(k, n , p) je zapravo sledece: Neka je X~Bin(n, p), tada pbinom(k, n, p)=P{X<=k}
# Nama je potrebna verovatnoca: P{X>=80}>=0.9, i neizvesan nam je parametr n iz Binomne raspodele. 
# Zato 1-pbinom{79, n, 0.4}=1-P{X<=79}=P{X>79}=P{X>=80}, gde je druga jednakost iz osobina komplementarnih dogadjaja,
# dok treca jednakost vazi jer Binomna slucajna velicina uzima samo celobrojne vrednosti.
1- pbinom(79, 223, 0.4)
# Kako naci trazeni broj n? Moze "nabadanjem", a mogli smo i u for - petlji da izvrsimo pa cim premasi 0.9 da vrati trazeni broj n:
broj_n <- function(k, p) # sto je u nasem slucaju k=80, p=0.4
{
  trazeni_n = 0
  for(i in 80:500)
  {
    if( (1 - pbinom(k-1 , i, p)) >= 0.9 )
    {
      trazeni_n=i
      break
    }
  }
  return(trazeni_n)
}
broj_n(80, 0.4) # bas je 223 vratio.

# ili slicno kao u prethodnom zadatku
sum(dbinom(80:223, 223, 0.4))
# ili
qbinom(0.9, 223, 0.4, lower.tail = FALSE)

# Funkcija raspodele u R-u za neke slucajne velicine. 
pbinom(7, 10, 0.3)
pgeom(1, 1/2) # U R-u je implementirana geometrijska slucajna velicina koja broji NEUSPEHE, tj moze da uzme i vrednost 0.
# Dok mi u zadacima uglavnom koristimo slucajnu velicinu koja broji pokusaje, tj vazi da je uvek za jedan veca od ove u R-u.
# Zato na to valja obratiti paznju.
punif(0.5, 0, 1)

# 4)
# Imamo 15 cedulja po 2 pitanja na svakom. Pitanja se ne ponavljaju. Imamo studenta koji je naucio 25 pitanja. 
# On polaze ispit ako odgovori tacno na oba pitanja ili ako zna jedno pitanje sa cedulje i prvo(!) pitanje sa sledece cedulje.
# Koja je verovatnoca da student polozi ispit?

# Dakle onaj prvi slucaj jeste zaista choose(25, 2)/choose(30, 2).
# Moramo da gledamo verovatnocu svakog pitanja posebno, a ne kombinacija i samim tim drugi sabirak je:
# 25/30 * 5/29 * 24/28 * 2 (!!!). 

polaze_ispit<-function()
{
  pitanja = sample(1:30, size = 3, replace = FALSE)
  # vektor sa 3 pitanja, jer nas najvise 3 pitanja zanimaju. 
  # Pretpostavili smo da bas tih prvih 25 zna, dok 26-30 ne.
  
  # AKo su se zalomila oba pitanja koja zna - super, polozio je odmah
  if(pitanja[1] <= 25 & pitanja[2] <= 25)
  {
    return(1)
  }
  else
  {
    # Inace, gledamo da li je bar jedno od ta dva znao, ako jeste - gledamo sta je sa trecim.
    if( (pitanja[1] <= 25 | pitanja[2] <= 25) & pitanja[3] <= 25 )
    {
      return(1)
    }
    return(0)
  }
}

rezultat = replicate(n = 10000,expr =  polaze_ispit(), simplify = TRUE)
mean(rezultat)


# 5)
# Zadat je ispit sa 10 pitanja sa mogucim odgovorima DA/NE. Za prolazak na ispitu potrebno je
# 70% tacnih odgovora. Izracunati:
# (a) verovatnocu da student polozi ispit ako nasumicno zaokruzuje;
# (b) verovatnocu da student ima vise od dva tacna odgovora;
# (c) verovatnoce P{A} i P{A^c} ako ispit polaze 340 studenata i dogadaj A je da barem jedan
# student ima manje od dva tacna odgovora;

# (a) 
# Potrebno nam je da student odgovori bar na 7 pitanja. Kako zaokruzuje nasumicno to je verotnoca svakog zaokruzivanja bas
# 1/2, i svaki odgovor je nezavisan od preostalih.
# Tada to mozemo modelovati binomnom slucajnom velicinom X~Bin(10, 1/2)
# Trazi se P{X>=7}=1-P{X<7}=1-P{X<=6}=1-pbinom(6, 10, 1/2)
1-pbinom(6, 10, 1/2)

# (b)
1-pbinom(2, 10, 1/2)

# (c)
# A^c - svi imaju vise od 2, a to je
(1-pbinom(2, 10, 1/2))^340 # To je P{A^c}, dok je P{A}=1-P{A^c}


# Ocekivanje i disperzija za neke diskretne raspodele. Binomna i geometrijska raspodela kao primeri.

# 6)
# (a) Izracunati ocekivanje i disperziju slucajne velicine X, td P(X=-1)=10/19, P(X=1)=9/19
# (b) Izracunati ocekivanje i disperziju slucajne velicine X, td P(Y=-1)=37/38, P(Y=35)=1/38

# (a)
ocekivanje_x = -1*10/19+1*9/19
disperzija_x = 1 - (ocekivanje_x)^2

# (b)
ocekivanje_y = -1*37/38+35*1/38
disperzija_y = 1*37/38+35^2*1/38 - (ocekivanje_y)^2

# A mozemo i da simuliramo pa tako da ocenimo srednju vrednost.
# N puta pozovemo trazene slucajne vrednosti i trazimo na kraju srednju vrednost vektora.

srvr<-function(w,w_p, N) # w  vektor sa vrednostima slucajne velicine, w_p - vvektor verovatnoca slucajne velicine
{
  vektor=sample(w, size=N, replace = TRUE, prob=w_p )
  ocekivanje=mean(vektor)
  disperzija=var(vektor)
  return(c (ocekivanje, disperzija))
}
srvr(c(-1, 1), c(10/19, 9/19), 10000)
srvr(c(-1, 35), c(37/38, 1/38), 10000 )
# Na ovom primeru se dobro i vidi sta zapravo znaci disperzija, jer za drugi poziv funkcije mnogo se 
# vise "seta" i ocekivanje


# 7) 
# Kraljevska porodica radja decu dok god se ne rodi musko dete ili najvise troje dece.
# Pretpostavljamo da je verovatnoca radjanja decaka 1/2. Naci ocekivani broj decaka i devojcica u 
# toj porodici i proveriti pomocu simulacije.

# Za domaci.





# 8)
# Kockica za igru se baca do pojave petice. Odrediti verovatnocu:
# (a) da je broj bacanja izmedu 2 i 4,
# (b) da je bilo najvise 3 bacanja,
# (c) da je bilo vise od 3 bacanja,
# (d) da je bio neparan broj bacanja, i
# (e) da je bio paran broj bacanja.


# Resenje:

# a)
sum(dgeom(x = 3 - 1, prob = 1/6))
# ili
pgeom(3 - 1, prob = 1/6) - pgeom(2 - 1, prob = 1/6)

# b)
pgeom(3 - 1, prob = 1/6)

# c)
1 - pgeom(3 - 1, prob = 1/6)

# d)
# Vidimo da pocev od broja 4077 vraca 0 kao verovatnocu, pa stoga ne moramo bas do beskonacno da idemo
# Iako bi sustinski tako morali
dgeom(4077, prob = 1/6)

# odgovor na d)
sum(dgeom(seq(from = 0, to = 4077, by = 2), prob = 1/6))

# e)
sum(dgeom(seq(from = 1, to = 4077, by = 2), prob = 1/6))