# Cas 11, skoro pa kraj.


# Tablice: pnorm(x, 0, 1) = pnorm(x) 

# qnorm(p, 0, 1) = qnorm(p) - inverzna funkcija raspodele za standardnu normalnu.

# link: http://www.matf.bg.ac.rs/p/files/1419333504-45-tablice[small].pdf


# 1) 
# Slucajne velicine X_1,..., X_n su medjusobno nezavisne i sa istom raspodelom.
# P{X_k = 0} = q, P{X_k = 1} = p.
# Neka je S_n = X_1 + ... + X_n.
# Naci X_n | S_n=k.

# Resenje:
# S_n ~ Bin(n, p), jer je zbir Bernulijevih nezavisnih.
# Trazimo zajednicku za (X_n, S_n) prvo
# P{X_n=0, S_n=k} = P{X_n=0} * P{S_n=k | X_n=0}
# = q * binom(n-1, k) p^{k} * q^{n-1-k}.

# i

# P{X_n=1, S_n=k} = P{X_n=1} * P{S_n=k | X_n=1}
# = p * binom(n-1, k-1) p^{k-1} * q^{n-k}.


# P{X_n=0 | S_n=k} = (n-k)/n

# P{X_n=1 | S_n=k} = k/n

# 2)
# Kockica sa baca dva puta i dobija par brojeva (X, Y).
# Naci raspodelu za:
# a) (X, Y) | X>Y,
# b) X |X>Y (za domaci).


# Resenje:
# a)
# Zajednicku trazimo:
# P{X=x, Y=y} = 1/36, za sve (x, y).

# Pa onda:
# P{X>Y} = P{Y>X} = 1/2 * (1-1/6) = 5/12.

# P{X = x, Y=y, X>Y} = 1/36, ako x>y i nula inace. 
# P{ X=x, Y=y | X>Y} = P{X=x, Y=y, X>Y} / P{X>y} =
# = 1/36 / 5/12 = 1/15.



# 3) 
# Naci raspodelu za X | X=Y, ako su X i Y nezavisne slucajne velicine
# sa Norm(0,1) raspodelom.


# Resenje:
# Prvo definisimo Z = X-Y i nadjemo njenu gustinu

# Zajednicka za (X, Z) je zbog nezavisnosti
# f(x,z)= 1/(2*pi) * e^{-x^2/2}* e^{-(x-z)^2/2}
# g(z) = 1/sqrt(2*pi) e^{-z^2/4}

# Pa imamo:
# h(x|z) = f(x, z)/g(z) =...=
# I stavimo da je z=0 time dobijamo:

# X | X=Y ~ Norm(0, 1/2).

# 4) 
# Naci moment generatornu funkciju za Geometrijsku slucajnu velicinu 
# sa parametrom p.

# Resenje:
# Neka je X~Geom(p).
# Po definiciji
# fi(t) = E(e^{tX}) = sum_{k=1}^{\infty} e^{t*k} P{X=k} =
# = sum_{k=1}^{\infty} e^{t*k} (1-p)^{k-1} * p =
# = p*e^{t} * sum_{s=0}^{\infty} e^{t*s} (1-p)^{s} =
# = p*e^t / [1- (1-p)e^t], za e^t*(1-p) < 1

# KRAJ! Sledeci cas samo konsultacije!


# Ponavljanje gradiva.