# Neparametarski testovi

# Hi-Kvadrat test saglasnosti

# testiramo da li neko obelezje ima raspodelu F_0, tj 
# H_0: F = F_0
# H_1: F != F_0

# Delimo skup vrednosti slucajne velicine X na k kategorija,
# i vazi: 
# M_i ~ Bin(N, p_i), 
# M_i - obim i-te kategorije.

# Formiramo statistiku:

# hi^2_n = sum [(M_i - N*p_i)^2] / (N*p_i) gde je
# M_i - velicina i-te kategorije
# p_i - verovatnoca teorijska
# N - ceo obim uzorka.

# I ta hi^2_n ima Hi-Kvadrat raspodelu sa k-1 stepeni slobode.

# Ako raspodela F_0 ima nepoznatih parametara - moramo ih oceniti i tada:
# hi^2_n ima Hi-Kvadrat raspodelu sa k-1-m stepeni slobode, gde je m - broj
# ocenjenih parametara.

# Kriticna oblast je
# W = {hi^2 > c}

# Za svaku teorijsku vrednost kategorije mora da vazi:
# N*p_i >= 5, u suprotnom sabiramo suprotne kategorije.

# (1)
# Neka je zadat uzorak:
#  [0, 1]  |  (1, 2]  |  (2, 3]  |  (3, 4]
#    23    |    26    |    23    |    28

# Sa pragom znacajnosti Alpha = 0.02 testirati da 
# X ima Unif[0, 4] raspodelu.

# Resenje:
# Kako testirano da li je nesto iz uniformne
# onda teorijske vrednosti su N*p_i:
#  [0, 1]  |  (1, 2]  |  (2, 3]  |  (3, 4]
#    25    |    25    |    25    |    25

# Pa racunamo dalje vrednost test statistike 
x = c(23, 26, 23,28)
teorijske = rep(25, 4)

test_stat = sum((x-teorijske)^2/teorijske )

# nalazimo c iz relacije
# P(W) = 0.02
# Test statisika ima hi-kvadrat sa 3 stepena slobode, stoga
c = qchisq(1-0.02, df=3)

# Provera kriticne oblasti:
test_stat > c
# False => Prihvatamo H_0.


# (2)
# Dat je uzorak 
#     1    |     2    |     3    |    4   |   5    |   6
#    45    |    30    |    15    |    6   |   2    |   2
# alpha = 0.05, testirati da li X ima Geom(0.5) raspodelu.
# Naci p-vrednost testa.

# Resenje:
# Kako geometrijska uzima vrednosti na svim prirodnim brojevima
# (pocev od 1 u nasem slucaju)
# to moramo dodati nedostajuce kolone, a to je [7, +\infty)
# koja naravno ima vrednost 0.


# Teorijske vrednosti su
# N*p_i = N*0.5^i
# a N = 100.

# dok za poslednju kategoriju koja ima >= 7 to je:
(1 - pgeom(q = 5, prob = 0.5) )* (45+30+15+6+2+2)

# Jer u R-u geometrijska ide od nule
# Oznacimo R-ovsku geometrijsku sa Y
# tada vazi relacija Y = X - 1
# Za poslednju kategoriju vazi:
# P{X >= 7 } = 1 - P{X < 7} = 1 - P{Y+1 < 7} = 
# = 1 - P{Y < 6} = 1 - P{Y <= 5} = 1 - pgeom(q=5, prob=0.5)

# Zato je tabela teorijskih vrednosti:
#     1    |     2    |     3    |    4   |   5    |   6    |  >=7
#    50    |    25    |    12.5  |  6.25  | 3.125  |  1.562 |  1.562

# Kako nisu sve kategorije vece od 5, to mora da saberemo poslednje 3.
#     1    |     2    |     3    |    4   |   >=5  
#    50    |    25    |    12.5  |  6.25  |   6.25

x = c(45, 30, 15, 6, 4)
teorijske = c(50, 25, 12.5, 6.25, 6.25)

test_statistika = sum( (x-teorijske)^2 / teorijske)

# Nadjimo c:
c = qchisq(p=0.95, df=4)

# Kriticna oblast:
test_statistika > c
# Prihvatamo

# dok p-vrednost:
p_vred = 1 - pchisq(test_statistika, df=4)


# (3)
# Dati su podaci:
#  [0, 1]  |  (1, 2]  |  (2, 3]  |  (3, 4]
#    42    |    34    |    16    |    8
# Alpha = 0.01 testirati da je ovo iz eksponencijalne raspodele sa parametrom 
# lambda.

# resenje:
# Prvo moramo oceniti parametar.
# Uglavnom se radi ocena MMV.
# Sto znaci da dobijamo 
ocena = 1/ ((42*0.5 + 34*1.5 + 16*2.5 + 8*3.5)/100 )
# oko 0.71

# Takodje moramo dodati kategoriju (4, +infty)
# i racunamo teorijske vrednosti

# Dobijamo:
#  [0, 1]  |  (1, 2]  |  (2, 3]  |  (3, 4]  | (4, +inf)
#    51    |    25    |    12    |    6     |    6

x = c(42, 34, 16, 8, 0)
teorijske = c(51, 25, 12, 6, 6)

test_statistika = sum( (x-teorijske)^2/teorijske )

# c:
c = qchisq(0.99, df=3)

# Kriticna oblast?
test_statistika > c
# Dobijamo TRUE, stoga odbacujemo nultu.