# Cetvrti cas


# (1)
# Ocene MMV za Normalnu raspodelu.

# 
m=5
sigma_kv=2
n=100
uzorak=rnorm(n, m, sqrt(sigma))
(m_ocena=mean(uzorak))
(sigma_kv_ocena=sum((uzorak-m_ocena)^2)/n)
sqrt(sigma_kv_ocena)
fitdistr(uzorak, "normal")
# dobili smo bas isto.

# (2)
# Zadatak sa Binomnom raspodelom i naci MMV za P{X>=3}. Ako je dato
# X~Bin(5, p) p-nepoznato.
# realizovani uzorak:
# X   : 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
# n_i : 6 | 10| 14| 13| 6 | 1 |

x_sr=(10+28+39+24+5)/(6+10+14+13+6+1)
x_sr
p_ocena=x_sr/5
p_ocena

p_3_ocena=choose(5,3)*p_ocena^3*(1-p_ocena)^2+choose(5,4)*p_ocena^4*(1-p_ocena)+p_ocena^5
p_3_ocena


# (3)
# Slucajna velicina X ima sledecu funkciju gustine:
# f(x) = (1-a) + 2ax, 0<x<1 i nula inace, -1<a<1. 
# Dobijen je PSU iz te raspodele. 
# Naci MMV ocenu za parametar a.


# (4)
# Neka je X~Gamma(Alfa, Beta), gde je vrednost za parametar Alfa poznata.
# Naci ocenu MMV za parametar Beta.
# i ispitati njenu nepristranost.
x=rgamma(100, shape=4, rate=7) # shape je parametar koji odgovara Beti, dok rate=Alfa

library(MASS)
fitdistr(x, "gamma", rate=7)

# Napomena: ukoliko je dato ili od negde poznato da neki parametar (u ovom zadatku beta) ne uzima vrednosti vece od neke konstante Q, tada je nakon dobijanja
# ocene potrebno proveriti da li ocena veca od te konstante, ukoliko jeste, onda je moramo oceniti sa bas Q, tj ocena je:
# b_2=min(Q, b_1), gde je b_1 - ocena dobijena MMV.
# Slicno ukoliko znamo da ne uzima vrednosti manje od nekog R, tada je
# b_2=max(R, b_1).

# (5)
# Neka je X~Ber(p). Naci MMV ocenu za p.

# (6)
# P{X = -1} = 1-2b,
# P{X = 0} = b,
# P{X = 1} = b
# Naci ocenu MMV za b i proveriti nepristrasnost i postojanost ocene.

# (7)
# Odrediti c in R tako da 
# f(x) = c*exp(-|x-m|) bude gustina.
# Naci MMV ocenu za parametar m.

# (8)
# Naci MMV ocenu parametra b za X~Unif[0, b]
# ako je funkcija gustine data sa
# (a) f(x) = 1/b, 0<=x<=b
# (b) f(x) = 1/b, 0<x<b

# (9)
# Neka je data slucajna velicina sa funkcijom gustine:
# f(x) = exp(b-x), x>b i nula inace.
# Da li postoji MMV ocena za parametar b?
# A ocena metodom momenata?