# Treci cas.


# (1) 
# X_1,..., X_n je prost slucajan uzorak(P.S.U.) iz Unif[Teta, 0], gde je Teta nepoznat parametar.
# Za ocenu Teta predlazu se sledece ocene:
# T_1=c*X_(1), c- neka konstanta, X_(1) - prva statistika poretka.
# T_2=2*X_{sr}, gde je X_{sr} - srednja vrednost uzorka.
# Odrediti c da ocena T_1 bude nepristrasna i bolju ocenu od ove dve date.

# Ovaj zadatak cemo prvo resiti na tabli, a onda simulacijom proveriti rezultat.

#prvo dobijemo PSU, neka bude duzine 100 iz Unif[-10, 0] (tj zadacemo parametar i videcemo kako koja ocena ga oceni.)
uzorak=runif(100, -10, 0)

# ocena prvom ocenom, za c se dobije c=(n+1)/n=101/100
ocena_1=min(uzorak)*101/100
# ocena drugom
ocena_2=mean(uzorak)*2

# kako znamo da su obe ocene nepristrasne, necemo ispitivati ocekivanje, ali hocemo disperzije, prema formulama imamo:
disp_1=(-10)^2/(100*102)
disp_2=(-10)^2/300

# I sada taj postupak jos ponovimo N puta i gledamo koliko nam je cesto ocena_1 zaista bolja.
simulacija<-function(Teta, n, N)
{
  brojac=0 # broji koliko bude je ocena_1 bolja od ocene_2
  for(i in 1:N)
  {
    uzorak=runif(n, Teta, 0)
    # ocena prvom ocenom, za c se dobije c=(n+1)/n=101/100
    ocena_1=min(uzorak)*(n+1)/n
    # ocena drugom
    ocena_2=mean(uzorak)*2
    if(abs(ocena_1-Teta)<abs(ocena_2-Teta))
    {
      brojac=brojac+1
    }
  }
  return(brojac/N)
}
# Vidimo da je u ~90% slucajeva bolja prva ocena.


# To je bio uvodni zadatak za ocenjivanje, cisto da osetimo problem i razlog.
# Postavlja se pitanje a kako uopste naci ocene? U prvom zadatku imali smo vec date ocene i zadatak je bio samo da izracunamo.
# Postoji vise metoda za nalazenje ocene mi cemo neke predstaviti.

# Metoda tackastog ocenjivanja.
# - metod momenata
# - metod maksimalne verodostojnosti (MMV)

# Metod momenata.
# Ideja je da se prirodno momenti zamene uzorackim momentima.
# Tj. za E(X) uzimamo ocenu - srednja vrednost uzorka.
# za E(X^2) -- suma((x_i)^2/n) itd

# za centrirane momente - centrirane uzoracke momente
# D(X) -- sum(X_k-X_{sr})^2/n itd.

# Primeticemo sta sve mozemo iz ovakvih ocena da izvucemo.
# Izjednacavanjem momenata raspodele sa odgovarajucim uzorackim momentima dobija se sistem
# jednacina po nepoznatim parametrima cije je resenje ocena parametra po metodi momenata.

# Da li vidite moguci problem?


# Problem je u tome sto moramo da pretpostavimo koja je raspodela u pitanjU!


# (2)
# X~Bin(N, p)
# gde je N- poznata vrednost, p - nepoznata. Potrebno je naci ocenu za p.
# ako je dat PSU  X_1, ..., X_n.

# Kako znamo da je ocekivanje binomne slucajne velicine N*p dobijamo:
# E(X)=N*p=X_{sr}
# gde druga jednakost vazi prema metodi momenata. X_{sr} - srednja vrednost uzorka.
# odavde mozemo da izrazimo ocenu za p:
# p*=X_{sr}/N
# gde smo sa p* oznacili ocenu za p.


simulacija2<-function(n, N, p)
{
  uzorak=rbinom(n, N, p)
  ocena=mean(uzorak)/N
  return(ocena)
}
simulacija2(1000, 10, 0.3)

# Da li je ocena i nepristrasna?

# (3)
# X~Eksp(a)
# gde je a- nepoznata vrednost. Potrebno je naci ocenu za parametar "a" 
# ako je dat PSU  X_1, ..., X_n.

# Slicna prica kao u prethodnom zadatku. 
# Znamo da je E(X)=1/a, stoga
# 1/a=X_{sr}
# =>
# a*=1/X_{sr}

simulacija3<-function(n, a)
{
  uzorak=rexp(n, a)
  ocena=1/mean(uzorak)
  return(ocena)
}
simulacija3(1000, 0.2)


# (4)
# P{X=-1}=p
# P{X=0}=1-2p
# P{X=1}=p
# naci ocenu za p metodom momenata, ispitati nepristrasnost, postojanost
# ako je dat PSU X_1, ..., X_n.

# i ovo cemo da simuliramo.

# (5)
# odradite ocene metodom momenata za Unif[a,b] za parametre a i b.



# (6)
# Metodom momenata za Normalnu raspodelu sa parametrima m i sigma^2.



# MMV

# (7)
# Naci ocenu MMV za Eksp(a) ako je dat PSU X_1, ...,X_n.

# dobijamo da je ocena: 
# a*=n/sum(uzorak) 
# primetimo da je zapravo ocena ista kao u slucaju kad smo radili metodom momenata.
# a mozemo to i u R-u, pomocu funkcije fitdistr()

uzorak=rexp(100, 0.2)
install.packages("MASS")
library(MASS)
fitdistr(uzorak, "exponential")
# Tako dobijamo ocenu MMV, ili pesacki

(a=100/sum(uzorak))

# (8)
# MMV za Unif[a, b]

# 
a=10
b=23
n=100
uzorak=runif(n, a, b)
a_ocena=min(uzorak)
b_ocena=max(uzorak)
# Kao sto smo videli najbolje ocene su bas min i max za a i b.