#                   ~~~  Cas 2 ~~~                                              
#                   20.10.2017.






# Napomena: Cio broj koji zadamo kao seed je pocetna tacka koja se koristi za
# generator sekvence slucajnih brojeva (pretpostavimo da koristimo isti
# generator pseudo-slucajnih brojeva) i zbog toga ako zadamo isti argument
# funkciji set.seed() prije poziva slucajne funkcije dobicemo isti rezultat
# svaki put. To nam koristi ako zelimo da generisemo neke slucajne brojeve samo
# jednom a da posle radimo sa tim istim uzorkom.

set.seed(1)
runif(10)




# Zadatak 0

# Simuliraj bacanje regularne kockice za igru.

sample(6, 1, prob = rep(1/6,6))

# Izracunati frekvenciju pojavljivanja sestice u 1000 izvodjenja eksperimenta.
# Nacrtati histogram frekvencija

s<-sample(6, 1000, prob = rep(1/6,6), replace = TRUE)
mean(s==6)  # ekvivalentan poziv sum(s==6)/length(s)
hist(s)

# Zadatak 1 


# Bacaju se istovremeno kocka za igru i novcic. 
# a) Ispisati skup svih ishoda.

kocka<-c(1,2,3,4,5,6)
novcic<-c("pismo", "glava")

matrica.ishoda<-outer(kocka, novcic, FUN="paste", sep="")

# b) Da li su svi ishodi jednako vjerovatni? Ocijeniti vjerovatnocu ishoda
# "5pismo".

# Upisujemo sve ishode u vektor

vektor.ishoda<-as.vector(matrica.ishoda)

# Pozicija ishoda pismo5 u vektoru ishoda

pismo5<-which(vektor.ishoda=="5pismo")

# Generisemo vektor od hiljadu elemenata iz skupa 1:12 na slucajan nacin

simulacije<-sample(length(vektor.ishoda), 1000,  replace = TRUE)

# Ocjena vjerovatnoce na osnovu frekvencija

mean(simulacije==pismo5)


# Zadatak 2


# Igraci baca strelicu na tablu na kojoj se nalaze tri koncentricna kruga 
# poluprecnika 5, 10 i 15 cm. Najveci krug je upisan u kvadrat stranice 30 cm. 
# Smatra se da je svaki dio table ravnopravan.

# a) Napisati funkciju strelica() koja simulira opisanu igru. (Funkcija treba da
# vrati 1-ako je pogodjen prvi krug, 2 za drugi i 3 za treci, -1 ako je strelica
# van krugova)


strelica<-function(){

# Postavljamo koordinatni pocetak u centar kruga i na slucajan nacin biramo x i 
# y koor- dinatu za pogodjenu tacku, (x,y) su iz [-15,15]x[-15,15]
  
  poz<-runif(2, -15, 15)
  
# racunamo rastojanje tacke od centra
  
  r<-norm(poz, type="2")  # ekvivalentno: sqrt(sum(poz^2))

  if(r<=5)              return(1)
    else if(r>5 & r<=10)  return(2)
      else if(r>10 & r<=15) return(3)
        else                  return(-1)      

}


# b) Ocijeniti vjerovatnocu da je da je pogodjen 1., odnosno 2. krug.
 

# Koristimo funkciju replicate cijim pozivom 
# 1000 puta pozivamo funkciju strelica() i rezultate tih poziva smjestamo 
# u jedan vektor

simulacije<-replicate(1000, strelica(), simplify = "array")


# Napomena: Ako fji replicate proslijedimo argument simplify= F, vratice listu

table(simulacije)

frekvencije<-table(simulacije)/1000
frekvencije

# Ako izracunamo vjerovatnoce teorijski, gledajuci kao gemetrijsku vjerovatnocu 
# po formuli: P(A)=m(A)/m(kvadrat) , dobicemo priblizno:

#  -1           1             2         3

#  0.21460    0.08727    0.26180    0.43633



# c) Igraci A i B naizmjenicno bacaju po tri strelice na tablu. Na pocetku igre
# imaju po 20 poena. Ako se pogodi prvi krug gubi se 1 poen, drugi 3, treci 5 i
# van kruga 10 poena. Igru zapocinje igrac A, a zavrsava se kada jedan od igraca
# izgubi sve poene. Simulirati igru. Napisati funkciju pikado() koja vraca 1 ako
# je pobijedio igrac A, odnosno 2 ako je pobijedio igrac B.



# Pravimo pomocnu fju koja racuna koliko treba oduzeti poena igracu nakon jedne
# partije. Prosledjujemo joj vektor sa oznakama pogodjenih polja


poeni<-function(x){
  
  # racunamo koliko je puta pogodjeno svako polje
  
  krug.1<-sum(x==1)
  krug.2<-sum(x==2)
  krug.3<-sum(x==3)
  kvadrat<-sum(x==-1)
  
  return(krug.1 + 3*krug.2 + 5*krug.3 +10*kvadrat)
  
}



# Hocemo da napisemo funckiju pikado() koja vraca 1 ako je pobijedio igrac A, a
# 2 u suprotnom.


pikado<-function(){
  
  poeni.A<-20
  poeni.B<-20
  
# Napomena:  
# Indikator da je igrac A na redu: U aritmeticki izrazima T ce imati vr 1, a F 0
  
  A.na.potezu<-TRUE
  
  
  while(poeni.A*poeni.B>0){
    
  # Oduzimamo poeni igracu koji je na potezu
    
  poeni.A<-poeni.A - A.na.potezu*poeni(replicate(3,strelica()))
  poeni.B<-poeni.B - (!A.na.potezu)*poeni(replicate(3,strelica()))
    
  # Mijenjamo igraca
    
  A.na.potezu<-!A.na.potezu
    
    
  }
  
  # Ko prvi izgubi poene izgubio je igru.
       
  ifelse(poeni.A<=0 ,return (2), return(1))
      
  
}

# Ocijeniti vjerovatnocu da pobijedi igrac koji zapocinje igru, odnosno igrac A.
# Sta se ocekuje?


s<-replicate(1000,pikado())


mean(s==1)
mean(s==2)


# Zadatak 3


# (a) Neka igrac ima pocetni kapital A i on baca kockicu. Ako dobije 1, 3 ili 5,
# njegov kapital se uveca za 1 dinar, a u suprotnom izgubi 1 dinar. Za N
# ponovljenih bacanja, nacrtati trajektoriju njegovog kapitala u zavisnosti od
# trenutnog bacanja. (dozvoljeno je da igrac ide u minus)

trajektorija<-function(A, N){
  
  a<-numeric(N)
  
  s<-sample(6, N, replace = TRUE)
  
  a[1]<-A
  
  for(i in 1:N) 
  ifelse(s[i]%%2==1, a[i+1]<- a[i]+1, a[i+1]<- a[i]-1)
    
  return(a)   
  
}

# Crtamo trajektoriju za pocetni kapital 15 i broj bacanja 20

plot(trajektorija(5,20), type="o", col="blue")


# 2. nacin: Hocemo da izbjegnemo petlju 

# Kumulativna suma vektora x=(x1,x2,...,xn) je vektor

#   x = (x1, x1+x2, x1+x2+x3, ... , x1+x2+x3+...+xn)


trajektorija2<-function(A,N){
  
  s<-sample(6, N, replace = T)
  
  i<-ifelse(s%%2==1, 1, -1)
  
  trajektorija<-cumsum(i)+A
  
  return(trajektorija)
  
}

plot(trajektorija2(5,20), type="o", col="red")

# Primijetimo da je drugi nacin efikasniji

system.time(trajektorija(1, 10000))
system.time(trajektorija2(1,10000))


# a.1) Ocijeniti vjerovatnocu da igrac zavrsi u plusu posle N partija


plus<-function(A, N){
  
  a<-trajektorija2(A, N)
  
  ifelse(a[N]>0, return(1), return(0))
  
}

frekv.plusa<-function(A, N, broj.sim=1000){

  simulacije<-replicate(broj.sim, plus(A, N))
  f<-mean(simulacije)
  return(f)

}

frekv.plusa(5,20)
frekv.plusa(5,100)
frekv.plusa(100,1000)



# Zadatak 4

# Odrediti povrsinu ispod  grafika funkcije sin(x)  na intervalu [0,1] uz
# pomoc MK metode.

# [Monte Karlo metoda]


MK<-function(N){  # N-broj tacaka koje generisemo
  
  
  x<-runif(N, 0, 1)
  y<-runif(N, 0, 1)
  
  povrsina<-sum(y<sin(x))/N   # ili mean(y<sin(x))
  
  return(povrsina)
  
}

MK(100)


# Aproksimacija broja Pi

# Ako nasumice odaberemo tacku unutar jedinicnog kvadrata [0,1]x[0,1] vjerovat-
# noca da se ona nadje unutar dijela jedinicnog kruga koji se nalazi u oblasti
# [0,1]x[0,1] je odnos povrsina te dvije oblati po formuli za geometrijsku vj.

# p=P(dio kruga)/p(kvadrat)=1^2*Pi/1^2= Pi/4

# Iz prethodnog zadatka, ako MK simulacijom odredimo odgovarajucu povrsinu i 
# pomnozimo je sa 4, dobicemo aproksimaciju broja Pi.


pi<-function(N){
  
  x<-runif(N, 0, 1)
  y<-runif(N, 0, 1)
  
  
  povrsina<-sum(y<sqrt(1-x^2))/N
  
  return(4*povrsina)
  
  
}

pi(100)
pi(100000)  # znatno bolja aproksimacija


# Zadatak 5

#Dat je skup vrijednosti karata {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, J, Q, K} i skup boja
#{pik, tref, herc, karo}.

# a) Generisati spil karata ( Primjer: Kralj herc ispisati kao "Kh")


vrijednosti<-c("A", 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 , "J", "Q", "K")
boje<-c("p", "t", "h", "k")  # pik, tref, herc, karo

spil<-outer(vrijednosti, boje, FUN="paste", sep="")


# b) Igru igraju dva igraca. Igrac koji pocinje igru izvuce jednu kartu iz spila
# na slucajan nacin, isto uradi i drugi igrac. Cija karta ima vecu vrijednost
# dobija. Ako izvuku kartu iste vrijednosti, karte se vracaju u spil, mijesaju
# se i izvlace prve dvije ("A" vrijedi kao 1). Simulirati ovu igru. (Neka
# funkcija igra() vraca vrijednost 1 ako je pobijedio prvi igrac, odnosno 2 u
# suprotnom. AKo se igra ne zavrsi u 100 partija, smatramo da je nerijeseno.



igra<-function(){
  
  karte<-sample(52) # neka permutacija skupa 1:52
  i<-1
  
  while(i<=100){  # ogranicavamo broj partija na 100
    
    
    
    prvi<-karte[1]   # Uzimaju se dvije karte sa vrha
    drugi<-karte[2]
    
    # Poredimo vrijednosti na osnovu matrice ishoda iz dijela a
    
    
    if(prvi%%13!=0 && drugi%%13!=0){
    if(prvi%%13>drugi%%13)  return(1) 
    else if(prvi%%13<drugi%%13)  return (2)
      
    # mijesamo karte
      
    else {karte<-sample(52)
    i<-i+1}
    }
    
    else if(prvi%%13==0 && drugi%%13!=0)  return(1)
    else if(prvi%%13!=0 && drugi%%13==0)  return (2)
    else {karte<-sample(52) 
    i<-i+1             }
    
  }   
  return(0)  # nerijeseno je
}


# Za domaci: Uradite varijantu zadatka gdje se karte ne vracaju u spil nakon 
# izvlacenja. 


#c) Procijeniti na osnovu 10 000 simulacija vjerovatnocu da pobijedi igrac koji 
#zapocinje igru, kao i vjerevovatnocu da se zavrsi nerijeseno.


ishodi<-replicate(10000, igra(), simplify = "array")

table(ishodi)

#(Funkcija igra() vraca 1 ako imamo povoljan ishod, pa cemo sumiranjem svih
#clanova vektora ishoda dobiti broj pobjeda igraca koji zapocinje igru. )


mean(ishodi==1)
mean(ishodi==0)


# Vjerovatnoca da pobijedi prvi igrac je oko 0.5, sto je ocekivano. Vjerovatnoca
# da se igra ne zavrsi posle 100 partija pobjedom je na osnovu frekvencije 0. 
# Zadatak: Pokazite teorijski da je ova vjerovatnoca bliska 0.



# Zadatak 6


# Neka je dat novcic kod kojeg sa verovatnocom p > 0.5 pada glava. Smisliti fer
# zreb izmedju dva igraca koristeci taj novcic.

# Ideja je da definisemo koji ishodi pretstavljaju pobjedu za igraca 1 odnosno 2.
# Npr neka se baca novcic dva puta i kazemo da je igrac 1 pobijedio ako se dogo-
# dio ishod pismo-glava, a igrac 2 ako se dogodio ishod glava-pismo. Na ovaj na-
# cin vjerovatnoce pobjede oba igraca su jednake. Provjerite ovaj rezultat
# eksperimentalno. 


nefer.igra<-function(p){
  
  
  # neka 0 predstavlja pismo, a 1 glavu
  
  novcic<-sample(c(0,1), 2, replace=TRUE, prob = c(p,1-p))
  
  if(novcic[1]==0 & novcic[2]==1) return (1)
     else if(novcic[1]==1 & novcic[2]==0)  return (2)
          else return (0)   
}

# Sada hocemo da provjerimo odnos pobjeda igraca 1 odnosno 2 u 10000 odigranih
# partija. Neka je p=0.1, 1-p=0.9

r<-replicate(10000, nefer.igra(0.1))
sum(r==1)/sum(r==2)

# Odnos je priblizno isti, sto znaci da smo napravili fer igru. 



# ***************************************************************************

# Zadaci za vjezbu:

# ***************************************************************************



# ( Zadatke raditi prvo teorijski a zatim provjeriti rezultat simulacijama,
# ako je to pogodno. )



# 1. Izracunati vjerovatnocu da cifre desetica i jedinica slucajno izabranog
# prirodnog broja budu jedinice. 

# 2. Iz kutije u kojoj se nalaze cedulje oznacene brojevima od 1 do n izvlaci 
# se jedna po jedna cedulja

# a) sa vracanjem
# b) bez vracanja

# Izracunati vjerovatnocu da budu redom izvuceni brojevi 1,2,3,...,n.

# 3. Iz segmenta [0,1] na slucajan nacin se biraju dva broja. Izracunati vjero-
# vatnocu da njihov zbir bude manji od 1, a proizvod veci od 2/9.

# 4. Hotel ima n soba poredjanih jedna do druge u pravoj liniji. Na slucajan
# nacin k gostiju se razmjesta po sobama (k<n) . Izracunati vjerovatnocu da 
# oni zauzmu k susjednih soba ako: 

# a) nije ogranicen broj ljudi u jednoj sobi
# b) sve sobe su jednokrevetne


# 5. Iz skladista sa n predmeta od kojih je k neispravno uzima se m predmeta. 
# Izracunati vjerovatnocu da medju tim predmetima bude tacno l neispravnih.