Napomena: Uz prezentaciju treba citati beleske sa casa, ovdje nisu napisana kompletna resenja zadataka!

Indikator događaja

\[ I_A: \left( \begin{matrix} 0 & 1\\ 1-p & p\\ \end{matrix}\right) \]

# Kako mozemo da generisemo indikator nekog dogadjaja? Ako nas zanima neki dogadjaj cija verovatnoca nije poznata, mozemo da napravimo funkciju koja ce da simulira odgovarajuci eksperiment i vrati 1 ako se nas dogadjaj desio, a 0 ako se nije desio. Primetite da smo slicnu ideju koristili u simulacijama sa prethodnih casova.
# Ako hocemo da generisemo indikator nekog dogadjaja ciju verovatnocu znamo:

indikator <- function(p){
  sample(c(0,1),1,prob = c(1-p,p))
}

Binomna raspodela \(\mathcal{B}(n,p)\)

Interpretacija: vrši se \(n\) nezavisnih ekperimenata u kojima se događaj \(A\) realizuje sa verovatnoćom \(p\), \(X\) je broj koliko se puta realizovao događaj \(A\) u tih \(n\) eksperimenata
Na osnovu toga,

\[ P\{X=k\}={{n}\choose{k}}p^k(1-p)^{n-k}, k=0,1,\dots,n. \] Primetite da je \(X=I_1+\dots+I_n\), gde su \(I_i\) indikatori događaja \(A\).

Primer 1:

Zadat je ispit sa 10 pitanja pri čemu treba odabrati jedan od dva ponuđena odgovora. Da bi se položio ispit potrebno je 70% tačnih odgovora. Izračunati:

  1. verovatnoću da student položi ispit ako nasumično zaokružuje odgovore;

  2. verovatnoću da student ima više od dva tačna odgovora

# a. 

# treba nam P{X>=7}=1-P{X<7}=1-P{X<=6}

1-pbinom(6, size = 10, prob = 0.5)
## [1] 0.171875
# ili 

sum(dbinom(7:10,size = 10, prob = 0.5))
## [1] 0.171875
# b. domaci!

Uopšteno

Postoje ugrađene funkcije za funkciju raspodele, gustinu, funkcije kvantila, i generisanje slučajnih brojeva iz zadate raspodele.

Određeni prefiksi se dodaju na ime raspodele, u zavisnosti od toga šta hocemo da izracunamo:

funkcija raspodele - p

gustina - d (kod diskretnih raspodela ovo je verovatnoća iz zakona raspodele)

kvantili - q - inverz funkcije raspodele (ako postoji), odnosno za verovatnoću p vraca q takvo q za koje je \(p=P\{X\geq q\}\)

generisanje slučajnih brojeva iz neke raspodele - r (od random)

Specijalno, za binomnu raspodelu: pbinom(), dbinom(), qbinom(), rbinom()

# Ako hocemo da dobijemo 20 slucajnih brojeva iz B(10,0.5) raspodele:

rbinom(20, 10, 0.5)
##  [1] 5 2 3 8 4 3 2 3 4 5 3 7 5 5 7 5 6 5 1 3

Geometrijska raspodela \(\mathcal{G}(p)\)

\(X\)- broj pokušaja do prvog uspeha, pri čemu je verovatnoća uspeha \(p\)

\[ P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p, \ k \in \mathbb{N} \]

Primer 2:

Verovatnoća da košarkaš pogodi koš je p=0.7. On gađa sve dok ne pogodi. Izračunati:

  1. verovatnoću da košarkaš ima više od 5 pokušaja
  2. verovatnoću da gađa između 3 i 7 puta
  3. verovatnoću da je bio paran broj pokušaja
# Analogno sa funkcijama za binomnu, postoje i ugradjene funkcije za geometrijsku
# raspodelu u R-u. Medjutim, u R-u geometrijska slucajna velicina broji
# pokusaje pre prvog uspeha sto znaci da su njene vrednosti {0,1,2,3...}.
# Primetimo da ce takva slucajna velicina biti geometrijska slucajna velicina
# po nasoj definiciji umanjena za 1, pa cemo u zadacima koristiti ugradjene
# funkcije rgeom, dgeom, itd, pri cemu cemo voditi racuna da korigujemo
# vrednosti za 1.

# a. P{X>5}=P{X-1>5-1}=P{X-1>4}=1-P{X-1<=4}
1 - pgeom(4, 0.7)
## [1] 0.00243
# b. P{3<=X<=7}=P{X<=7}-P{X<3}=P{X-1<=6}-P{X-1<=1}

pgeom(6,0.7)-pgeom(1,0.7)
## [1] 0.0897813
# ili P{3<=X<=7}=P{X-1=3-1}+P{X-1=4-1}+...+P{X-1=7-1}

sum(dgeom(2:6,0.7))
## [1] 0.0897813
# c. Napomena: ovde nam se javlja beskonacna suma pa cemo da nametnemo neku
# granicu. Npr. pgeom(1000,0.7) = 1 sto znaci da je vjerovatnoca da X uzme
# vrednost vecu od 1000 0 (to se desava zbog zaokruzivanja, teorijski te
# verovatnoce su bliske nuli), pa za granicu uzimamo 1000.

# Zbog toga sto gledamo fje za X-1, zapravo racunamo verovatnocu da bude
# neparan broj pokusaja

sum(dgeom(seq(from = 1, to = 1000, by = 2),prob = 0.7))
## [1] 0.2307692

Apsolutno neprekidne slučajne veličine

Uniformna \(\mathcal{U}[a,b]\)

Gustina raspodele

\[ f(x)=\frac{1}{b-a}, \ x \in [a,b] \]

# Neka je X iz U(1,3) raspodele. 
# Izracunati verovatnocu P{X>1.5}

1-punif(1.5)
## [1] 0
# Izracunati verovatnocu P{2 < X <= 2.5}

punif(2.5, 1 , 3)-punif(2, 1, 3)
## [1] 0.25

Eksponencijalna raspodela \(\mathcal{E}(\lambda)\), \(\lambda\)>0

# Neka je X iz E(3) raspodele. Izracunati P{X>1}

1-pexp(1, rate = 3)
## [1] 0.04978707

Gustina raspodele

\[ f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, \ x>0 \]

Zadatak 1 : Neka je \(X \in \mathcal{E}(2)\). Odrediti raspodelu sledećih slučajnih veličina:

  1. \(Y=|1-X|\)

  2. \(Z=\min \{X,X^2\}\)

Generisati slučajne brojeve iz datih raspodela. Izračunati i oceniti verovatnoću \(P\{Y>1/2\}\).
Domaci: Izračunati verovatnoću \(P\{Z>1\}\), a potom oceniti na osnovu simulacija tu verovatnoću i uporediti rezultate.

# generisemo 1000 brojeva iz E(2) raspodele

x <- rexp(1000, rate=2)

# generisemo Y

y <- abs(1-x)

# ocenjujemo verovatnocu P{Y>1/2}

mean(y>1/2)
## [1] 0.674
# b. domaci

Zadatak 2: Slučajna veličina \(X\) ima \(\mathcal{U}[-1,4]\) raspodelu. Odrediti raspodelu slučajne veličine \(Y=[X]\).

# generisemo 1000 brojeva iz U(-1,4) raspodele

u <- runif(1000, min=-1, max = 4)

y <- floor(u)

# Primetimo da je Y dikretna raspodela za razliku od X

table(y)
## y
##  -1   0   1   2   3 
## 194 219 208 189 190
# Na osnivu ovih simulacija mozemo da ocenimo verovatnoce da Y uzme odgovarajucu vrednost, kao sto smo to radili na prethodnim casovima

table(y)/1000
## y
##    -1     0     1     2     3 
## 0.194 0.219 0.208 0.189 0.190
# Uporedite ovaj rezultat sa teorijski izracunatim verovatnocama.