Testiranje hipoteza

1. Automatski postavljač čunjeva treba da resetuje čunjeve 4 sekunde nakon bacanja prve kugle. Ako je mašina suviše spora guglaši postaju nestrpljivi, a ako je suviše brza onda hvata čunjeve dok jos padaju. Obe situacije su nepoželjne. Želimo da ispitamo da li se srednje vreme resetovanja razlikuje od 4. Dobijeni su podaci: 4.1, 2.5, 3.5, 3.8, 3.2, 4.6, 4.1, 3.0, 3.5, 4.1, 4.3, 3.6, 4.0, 3.7, 4.5, 3.9. Da li možemo zaključiti na osnovu podataka da mašina ne radi dobro sa pragom značajnosti 5%?

x<-c(4.1, 2.5, 3.5, 3.8, 3.2, 4.6, 4.1, 3.0, 3.5, 4.1, 4.3, 3.6, 4.0, 3.7, 4.5, 3.9)
t.test(x, alternative = c("two.sided"), mu = 4, conf.level = 0.95)

Results of Hypothesis Test
--------------------------

Null Hypothesis:                 mean = 4

Alternative Hypothesis:          True mean is not equal to 4

Test Name:                       One Sample t-test

Estimated Parameter(s):          mean of x = 3.775

Data:                            x

Test Statistic:                  t = -1.623445

Test Statistic Parameter:        df = 15

P-value:                         0.1253179

95% Confidence Interval:         LCL = 3.479594
                                 UCL = 4.070406

2. Čini se da je promena cena naočara postala prevelika. Standardno odstupanje od 15 evra je dopustivo za troškove prodavca. Uzet je slučajan uzorak od 15 elemenata i dobijeni su sledeći troškovi pojedinačnih naocara: 39.47, 24.11, 12.76, 38.57, 15.91, 70.99, 49.66, 35.78, 23.02, 36.77, 45.08, 25.42, 31.64, 29.21, 44.83. Da li se na osnovu ovih podataka moze zaključiti, sa nivoom značajnosti 5%, da je disperzija u ceni postala prevelika? Pretpostavlja se normalnost u podacima.

# install.packages(EnvStats)
library("EnvStats")
x<-c(39.47, 24.11, 12.76, 38.57, 15.91, 70.99, 49.66, 35.78, 23.02, 36.77, 45.08, 25.42, 31.64, 29.21, 44.83)
varTest(x, alternative = "greater", conf.level = 0.95, sigma.squared = 15^2)

Results of Hypothesis Test
--------------------------

Null Hypothesis:                 variance = 225

Alternative Hypothesis:          True variance is greater than 225

Test Name:                       Chi-Squared Test on Variance

Estimated Parameter(s):          variance = 214.4597

Data:                            x

Test Statistic:                  Chi-Squared = 13.34416

Test Statistic Parameter:        df = 14

P-value:                         0.4996214

95% Confidence Interval:         LCL = 126.7664
                                 UCL =      Inf

3. Dva hemičara testiraju mantile koji bi se koristili u laboratoriji. Poželjniji je onaj koji ima manju disperziju jer je pouzdaniji. Sledeći podaci predstavljaju dužine tretiranja mantila hemikalijama u satima:
   I: 17.12, 16.02, 15.28, 20.77, 15.23, 25.45, 30.04, 10.06, 17.78, 23.13;
   II: 16.87, 18.40, 17.24, 16.06, 26.91, 21.66, 19.83, 20.10, 14.74, 15.59, 20.77, 20.61.
   Da li ovi podaci pokazuju da ima razlike u disperzijama među grupama, sa nivoom značajnosti 5%?

x<-c(17.12, 16.02, 15.28, 20.77, 15.23, 25.45, 30.04, 10.06, 17.78, 23.13)
y<-c(16.87, 18.40, 17.24, 16.06, 26.91, 21.66, 19.83, 20.10, 14.74, 15.59, 20.77, 20.61)
var.test(x, y, ratio = 1, alternative = c("two.sided"), conf.level = 0.95)

Results of Hypothesis Test
--------------------------

Null Hypothesis:                 ratio of variances = 1

Alternative Hypothesis:          True ratio of variances is not equal to 1

Test Name:                       F test to compare two variances

Estimated Parameter(s):          ratio of variances = 3.019944

Data:                            x and y

Test Statistic:                  F = 3.019944

Test Statistic Parameters:       num df   =  9
                                 denom df = 11

P-value:                         0.08783895

95% Confidence Interval:         LCL =  0.8417027
                                 UCL = 11.8142460

45. zadatak sa spiska

Meren je sistolni (gornji) pritisak na uzorku od 12 muskaraca i dobijeno je 130, 148, 122, 140, 132, 142, 124, 150, 170, 136, 146, 140, a na uzorku od 13 žena dobijene su sledeće vrednosti 140, 150, 130, 132, 150, 138, 123, 124, 160, 138, 170, 144, 108. Smatra se da sistolni pritisak i kod muškaraca i kod žena ima normalnu raspodelu. Ako se pretpostavi da su disperzije jednake, sa pragom značajnosti 0.1 testirati hipotezu da su srednje vrednosti pritisaka muškaraca i žena jednake protiv alternative da se razlikuju.

x<-c(130, 148, 122, 140, 132, 142, 124, 150, 170, 136, 146, 140)
y<-c(140, 150, 130, 132, 150, 138, 123, 124, 160, 138, 170, 144, 108)
t.test(x, y, alternative = c("two.sided"), var.equal = TRUE, conf.level = 0.90)

Results of Hypothesis Test
--------------------------

Null Hypothesis:                 difference in means = 0

Alternative Hypothesis:          True difference in means is not equal to 0

Test Name:                        Two Sample t-test

Estimated Parameter(s):          mean of x = 140
                                 mean of y = 139

Data:                            x and y

Test Statistic:                  t = 0.1676219

Test Statistic Parameter:        df = 23

P-value:                         0.8683459

90% Confidence Interval:         LCL = -9.224628
                                 UCL = 11.224628

# Postupno:
n1<-length(x)
n2<-length(y)
s1<-var(x)
s2<-var(y)
# Test statistika
w<-abs((mean(x)-mean(y))/sqrt(((n1-1)*s1+(n2-1)*s2)*(1/n1+1/n2)/(n1+n2-2)))
w

[1] 0.1676219

alpha<-0.05
c<-qt(1-alpha/2,n1+n2-2)
# Provjeravamo da li je uzorak upao u kriticnu oblast
w>c

[1] FALSE

47. zadatak sa spiska

M <- c(45, 30, 15, 6, 2, 2, 0)
N <- sum(M)
# Racunamo vjerovatnoce pk
pk <-
c(dgeom(0:5, 0.5), 1 - pgeom(5, 0.5)) # podsjetite se geometrijske raspodjele!
N * pk

[1] 50.0000 25.0000 12.5000  6.2500  3.1250  1.5625  1.5625

# Spajamo poslednje 3 kategorije, zbog uslova Npk>5
M <- c(45, 30, 15, 6, 4)
pk <- c(pk[1:4], sum(pk[5:7]))
np <- N * pk
chi.0 <- sum((M - np) ^ 2 / np)
chi.0

[1] 2.82

alpha <- 0.05
c <- qchisq(1 - alpha, 5 - 1)
c

[1] 9.487729

chi.0 > c # prihvatamo H0

[1] FALSE

```