# Cas 9,                                                16.12.2017.



# Generisanje slucajnih velicina, podsjecanje.


# Dvodimenzione slucajne velicine (slucajni vektori). Nezavisnost slucajnih velicina.


# -diskretan slucaj

# 1. Iz kutije u kojoj su 4 cedulje numerisane brojevima 1,2,3,4 izvlacimo
# cedulje bez vracanje dok ne izvucemo neku sa neparnim brojem. Neka je X zbir
# izvucenih brojeva, a Y broj izvlacenja.
# a. Odrediti zakon raspodjele slucajnog vektora (X,Y)
# b. Odrediti marginalne raspodjele za X i Y 
# c. Ispitati nezavisnost X i Y

# 2. U tabeli je dat zakon raspodjele slucjanog vektora (X,Y). Ako je dato EY=0.5
# X\Y| -1 |  0  | 2
# -1| 0.1|   a | 0.3 
# 1| 0.2| 0.1 |  b

# a. Naci konstante a i b
# b. Izracunati EX
# c. Provjeriti da li X i Y nezavisne
# d. Naci zakon raspodjele za : X+Y i X^2+Y^2


# Koeficijent korelacije

# 3. Novcic se baca tri puta. Ako sva tri puta padne ista strana, izvodi se jos
# jedno bacanje. Neka je X-broj palih glava, a Y-broj bacanja.
# a. Naci zakon raspodjele za (X,Y)
# b. Naci koeficijent korelacije ro_X,Y
# c. Da li X i Y korelisane? A da li su nezavisne?


# 4. X ima U(-1,1) raspodjelu a Y=|X|. Naci ro_X,Y.

# 5. [Zadatak sa kolokvijuma]

# Date su tri numerisane kocke za igru i svaka se baci jedan put. Neka je X
# minimum dobijenih brojeva a Y maksimum istih. Naci zakon raspodjele za
# slucajan vektor (X,Y) koristeci Monte Karlo metodu. Funkciju kojom se
# ocjenjuju zajednicki zakon raspodjele nazvati minmax(). Ulazni parametar je
# broj montekarlo ponavljanja, a izlazni matrica koja predstavlja zajednicki
# zakon raspodjele.

minmax<-function(n){
  
  m<-matrix(rep(0,36),ncol = 6, nrow = 6)
  for(i in 1:n){
    
    x<-sample(6, 3, replace = TRUE)
    r<-min(x)
    s<-max(x)
    
    m[r,s]<-m[r,s]+1
    
  }
  
  vj<-m/n
  return(vj)
}


minmax(100000)


# 6. Strijelac ima 4 metka i gadja u cilj sve dok ne pogodi dva puta uzastpno ili
# ne potrosi sve metke. Vjerovatnoca pogotka u svakom nezavisnom gadjanju je p. Ako je
# X broj pogodataka a Y broj gadjanja, odrediti zakon raspodjele za (X,Y) i izracuntati
# P{(X,Y) iz (1,3]x(1,3]}


# Razno


# 7. Iz skupa {1,2,3...n} (n>=2) se na slucajan nacin biraju dva broja x i y
# istovremeno. Neka je S=max(x,y). Naci raspodjelu za S. Izracunati
# P{0.5<S<=3.56} i P{S>2.6}


# 8. Posmatra se niz nezavisnih Bernulijevih eksperimenata, pri cemu se svaki pojedinacni
# eksperiment zavrsava uspehom sa verovatnocom q, 0<q<1.
# Neka je
# S_1 - broj neuspjeha do prvog uspjeha.
# S_2 - broj neuspjeha izmedju realizacija prva dva uspjeha.
# Naci:
# a) Naci (S_1, S_2).
# b) Odrediti P{S_2=3 | S_1 = 5}, P{S_2=3 | S_1 \in {4, 5, 6} }.